ldquop或q中最終會有一個命題是真的，或許兩個都是真的&rdquo，我們把這個命題稱為&ldquoporq&rdquo。
我可以順便提一句，一位在世的最偉大的哲學家說過，詞&ldquoor&rdquo的這種用法，也就是&ldquoporq&rdquo的命題，在二選一（either）的意義上可能是真實的，在兩者都是（both）的意義上也可以是真實的，使他對準确的表達感到絕望。
我們無法理解他的憤怒，但是我們必須勇敢地面對他的憤怒。
因此，我們得到了四個新的命題，即，&ldquoporq&rdquo、&ldquonot-porq&rdquo、&ldquopornot-q&rdquo和&ldquonot-pornot-q&rdquo。
我們稱這些命題為一組衍生的選言命題。
到現在為止，總共有八個命題：p、not-p、q、not-q和四個衍生的選言命題。
這八個命題中任何一對都可能被采納，并在前面的處理中代替p和q。
因此，每一對都會産生八個命題，其中一些命題可能是以前得到的。
以這種方式繼續進行下去，我們得到了一組愈加複雜的命題，但它們根本上起源于這兩個原始的命題p和q。
當然，隻有少數幾個命題是重要的。
同樣地，我們能夠從三個命題p、q、r開始，或從四個命題p、q、r、s開始，等等。
這些集合中的任何一個命題都可能是真的或是假的。
它别無選擇。
無論它是真的或假的，都稱之為該命題的&ldquo真值&rdquo。
邏輯探究的第一部分是，當我們知道其中一些命題的真值時，就去解決我們所知道的這些命題的真值。
就探究的價值而言，這種探究并不十分深奧。
表達調查結果的最佳方式，是一個我現在還不想考慮的細節。
這個探究形成了算術階段。
邏輯的下一部分是代數階段。
算術和代數的區别是：在算術中，考慮的是确切的數字；在代數符号中，即引入代表任何數字的字母。
數字的概念也被擴大了。
這些字母代表着任何數字，有時稱為變量，有時稱為參數。
它們的本質特征是不确定，除非它們所滿足的代數條件無疑地确定了它們。
它們有時被稱為未知數。
帶字母的代數公式是空白形式。
當用确定的數字代入字母時，它就成為确定的算術語句。
代數的重要性在于其對形式研究的貢獻。
現在，我們考慮下面的命題&mdash&mdash
汞的特殊比熱是0．033。
這是一個确定的命題，在某種限定下，它是真的。
但這個命題的真值跟我們沒有直接關系。
我們僅用一個字母來代替汞，以字母作為某種未确定物的名稱，我們可得&mdash&mdash
x的特殊比熱是0．033。
這不是一個命題，它已被羅素稱為命題函數。
命題函數是對一個代數表達的邏輯類推。
讓我們寫下f（x）來代表任何一個命題函數。
我們甚至還能進一步進行概括，說：
x的特殊比熱是y。
這樣我們就得到了另一個命題函數F（x，y），有兩個自變量x和y，等許多諸如此類的參數。
現在，考慮一下f（x）。
x存在着取值範國，在此範圍内f（x）是一個命題，真的或假的。
在這個範圍之外對x取值，f（x）根本不是一個命題，無論真的或假的。
它也許對我們有一些模糊的暗示，但它沒有一個明确肯定的意義。
例如，
水的特殊比熱是0．033。
這是一個假的命題；并且&mdash&mdash
美德的特殊比熱是0．033。
我應該想到，這根本不是一個命題。
盡管它的組成部分在我們頭腦中建立了各種聯系，它既非真命題也非假的命題。
在使f（x）具有意義的範圍内的取值，被稱為自變量x的參數&ldquo類型&rdquo（type）。
但x還有一個取值範圍，其中f（x）是一個真命題。
這是滿足f（x）的自變量的那些值的集（class）。
這個集可能一個成員都沒有，或者處在另一種極端，自變量的整個類型都是這個集合的成員。
于是，我們設想兩個一般命題，它們涉及享有同樣邏輯形式的不定數目的命題。
更确切地說，這些命題是同一個命題函數的各種值。
其中一個命題是，
取值範圍内x取每一個值，f（x）都會産生一個真命題。
另一個命題則是，
x取某一個值時，f（x）是一個真命題。
給定兩個（或更多）命題函數f（x）和&phi（x）。
它們具有相同的自變量x，我們便形成導出函數，即
f（x）or&phi（x），f（x）ornot-&phi（x）
等等，帶着矛盾如此這般繼續下去，就像在算術階段一樣，一個無終止的命題函數的聚集體。
同樣，每個命題函數也産生兩個一般命題。
從任何這樣的命題函數的集合中都會産生一般命題，産生這些一般命題的真值之間的相互聯系。
真值之間的相互聯系理論形成了數學邏輯中簡單而優雅的一章。
在邏輯的代數部分，類型的理論出現了，如我們已經提到的那樣。
它不可以僅僅因為介紹上的錯誤而被我們忽略。
類型理論至少需要通過某個可靠的假設被确定下來，即使它還沒有抵達問題的哲學根基。
盡管羅素卓越的工作已經開啟這門學科，但是邏輯學科的這個部分是晦澀而困難的，還沒有最終被闡明。
對現代邏輯的最終推動來自于由弗雷格和皮亞諾各自獨立發現的邏輯變量的重要性。
弗雷格比皮亞諾走得更遠，但用了一種不幸的符号論使他的工作顯得如此晦澀，沒有人能完全理解他的意思，因為他本人沒有發現這一點。
但這項運動具有很長的曆史，可以追溯到萊布尼茨，甚至可以追溯到亞裡士多德。
其中，卓有貢獻的英國人是德·摩根、布爾和艾爾弗雷德·肯普爵士，他們的功績是一流的。
第三個邏輯部分是一般函數理論的階段。
在邏輯語言中，我們在這一階段進行了從内涵到外延的轉換，并考察了外延理論。
取命題函數f（x），有一個集合，其成員滿足f（x），或者說是x的取值範圍。
但這個取值範圍的成員也可以是滿足另一個命題函數&phi（x）的集。
這個情況下，我們有必要研究如何表示這個集，用一種與它的任何成員所滿足的各種命題函數無關的方式，這個集得是唯一的表