示[2]。
我們必須要做的是分析關于一個集的命題性質，即，那些命題，它們的真值取決于這個集本身，而不是取決于集所指示的特定意義。
此外，還有一些命題是關于所謂個體的，這些個體通過描述性詞語來表明。
例如，關于&ldquo現在的英國國王&rdquo，他确實存在；和&ldquo現在的巴西皇帝&rdquo，他并不存在。
這些命題，更複雜了，但是也更類似。
涉及一個自變量的函數牽涉到集；涉及兩個自變量的命題函數也是類似的問題，但是更複雜，牽涉到&ldquo相關&rdquo的概念；相似的，三個自變量的命題函數産生三角相關，等等。
這一邏輯部分是羅素一個人完成，通過始終保持做基礎性的工作，羅素作出了獨特貢獻。
我把這稱為函數理論的一部分，因為它的思想對于邏輯表示函數的構造是必不可少的。
用邏輯表示函數的構造，包括普通的數學函數作為特例，如正弦函數、對數函數等。
如果我們要達到第四階段，在這三個階段中的每一個階段，我們必須逐漸引入适當的符号象征。
第四個邏輯部分是分析階段，主要研究特殊邏輯結構的性質。
确切地說，是研究集和特殊種類的集的關聯。
整個數學都包括在這裡。
所以這個部分非常龐大。
事實上，這不多也不少正是數學。
但它包括對數學觀念的分析，迄今為止這種分析還沒有包括在這門科學的範圍内，甚至根本沒有人考慮到這一點。
這一階段的精義在于，通過适當的構造，闡述了由數字、數量、時間、空間等理論構成的應用數學的大框架。
即使在簡要的概述中，我們也不可能解釋，如何從集的概念和相關的概念中，包括在第三部分中确立的許多相互關聯中，将數學發展出來。
我隻能提到這個過程的标題：&ldquo數學原理&rdquo，這個工作由羅素先生和本人充分發展而來。
在這一發展過程中，有七種特殊的相互關系，每種都具有特定的意義。
第一種包括一對多、多對一、一對一的相關性。
第二種包括連續的關系，即某個域的成員按連續的相關性來順序排列，使得在以關系定義的意義上，該域的任何一個成員在其他成員前或後。
第三種包括歸納關系，即數學歸納理論所依賴的相互關系。
第四種包括選擇關系，這是算術運算的一般理論和其他地方所要求的關系。
正是由于這種選擇關系，才産生了著名的乘法公理。
第五種是向量關系，從中産生了數量的理論。
第六種是比率關系，它把數字和數量聯系起來。
第七種是幾何中出現的三角關系和四角關系。
直白列舉如上面所述的技術名稱，并不是很有啟發性。
盡管這可能有助于理解學科的界限。
請記住，這些名字是技術性的，毫無疑問是富于暗示性的，但在嚴格定義的意義上使用。
我們遭受了許多批評者的非議，他們認為，隻要對這些術語字典的含義有一點兒了解，就足以批評我們的程序。
例如，一對一的關聯，依賴于隻有一個成員的集的概念。
而且，我們定義這個概念時，不需要訴諸數字1。
所有人想要多樣性的概念。
因此，當集&alpha隻有一個成員，
如果（1）命題函數x不是&alpha的一個值，
滿足這個命題函數，x取值的集就不是x的相應值的整個類型。
如果（2）命題函數，x和y是&alpha的值，且x不等于y，
這個命題函數就是錯誤的，無論在那個相應類型中的x和y的取值是什麼。
對于較高的有限基數成員，類似的程序顯然是可能的。
因此，一步一步地，當前數學觀念的整個循環都能夠進行邏輯定義。
這個過程是詳細而費力的，而且，就像所有的科學一樣，對由輕率話語組成的捷徑一無所知。
首先，這個過程的本質是，根據命題的形式來構造概念，或者說，以相關命題函數的形式來構造概念；其次，通過參考邏輯代數部分得到的結果，證明關于概念的基本真理。
我們可以看到，在這個過程中，特殊的不可确定的數學概念，還有關于數字、數量和空間的特殊的先驗數學前提，這一切已經統統消失了。
數學僅僅是一種分析推論的工具，隻要這些推論取決于命題的形式，推論就可以從任何特定的前提中得出，由常識提供，或者通過更精确的科學觀察得出。
某些形式的命題在思想中不斷出現。
我們現有的數學是對與這些跟形式有關的推論的分析。
無論是從實際效用還是從理論意義上來說，在某種程度上，這些推論都是重要的。
在這裡，我說的是實際存在的科學。
數學的理論定義必須包括其範圍内的所有推論，那些僅僅取決于命題形式的推論。
但是，當然沒有人願意發展數學中沒什麼重要性的部分。
對邏輯觀念的匆促總結，啟示了一些反思。
問題來了，有多少種形式的命題？答案是，無窮無盡。
由此可以看出，邏輯科學被認為是貧乏無果的原因。
亞裡士多德通過構想一個命題的形式的概念，并通過在形式的基礎上發生的推論，從而創立了這門科學。
但他把命題局限于四種形式，現在我們把它們叫作A、I、E、O。
隻要邏輯學家被這種不幸的限制所困擾，就不可能有真正的進步。
再有，在形式論中，亞裡士多德和後來的邏輯學家的理論，都非常接近邏輯變量理論。
但是，正如科學史告訴我們的那樣，去接近一個真正的理論，與掌握一個真正理論的精确應用，是完全不同的兩碼事。
所有重要的事情，都是由那些沒有發現它的某人在此前說出來的。
還有，邏輯推理不明顯的一個原因是，邏輯形式不是一個通常進入人們思考的主題。
常識推論很可能是憑借盲目的本能進行的，通過從具體命題到具體命題的那種演繹，它受某種觀念的習慣性聯想所指導。
因此，在大量的材料面前，常識是行不通的。
一個更重要的問題是，基于觀察的歸納法與演繹邏輯的關系。
歸納法和演繹法的追随者之間有一種對立的傳統。
在我看來，這就像是一條蟲子的兩頭在彼此争吵。
對于任何值得擁有的知識，觀察和演繹都是必要的。
如果不借助于命題函數，我們就無法得出歸納法。
例如，以觀察到的事實為例：
這個物體是汞，它的特殊比熱是0．033。
形成的命題函數則是，
要麼x不是汞，要麼它的特殊比熱是0．033[3]。
歸納法是對一般命題真理性的假設，即假設上述命題函數對相關類型中，x的每一個值都是真的。
但有人反對說，這一過程及其