後果是如此簡單，以緻一門精心設計的科學已經過時了。
同樣地，一個英國水手在海上航行時，他就會知道海水含鹽。
那麼，對海水進行精細的化學分析有什麼用處呢？有一個普遍的答案：對于你一直使用的方法，你知道的可能并不太多；還有一個專業的答案：邏輯形式和邏輯含義并不那麼簡單，整個數學就是這個效應的證據。
邏輯方法研究的一個重大用處，不在于詳盡推演的領域，而是指導我們研究科學主要概念的形成。
考慮一下幾何學，例如，組成空間的那些點是什麼？歐幾裡得告訴我們，這些點不可分割和沒有量級。
但是，點的概念，是如何從作為科學起點的那些感官知覺裡導出的呢？當然，這些點肯定不是由感覺直接導出的。
到處都是暗示我們點的概念的東西，我們可能會看到或不愉快地感覺到。
但這是一種少有的現象，當然也不能确保由點組成的空間概念。
我們在空間性質方面的知識并不基于點之間關系的觀察，它來自物體之間關系的經驗。
物體之間有這樣一種基本的空間關系，一個物體可能是另一個物體的一部分。
我們嘗試來定義&ldquo整體和部分&rdquo的關系，被部分占據的那些點是被整體占據的那些點中的一部分。
但&ldquo整體和部分&rdquo概念要比&ldquo點&rdquo的概念更加基本，所以這種定義其實是惡性的死循環。
因此，我們要問，是否可以給出某種其他&ldquo空間上的整體和部分&rdquo的定義？我認為可以這麼做。
如果我弄錯了，對于我的一般的論證也沒有根本性的影響。
我們得出了這樣的結論：一個廣延的物體，不過是由所有的知覺者對它的知覺的集合而已，無論實際的知覺者還是觀念的知覺者。
當然，它是某一确定種類知覺的集合，而不是任意知覺的集合。
那什麼是确定種類知覺，我還沒有明确定義，除非我用惡意的方法說它們是對事物的感知。
現在，一個物體的某一部分的知覺，是組成這整個物體的知覺的一個部分。
于是，兩個物體a和b，就是兩個知覺的集合。
當b的集合被包含在a的集合中時，b就是a的一部分。
按這個定義的邏輯形式可以得出，如果b是a的一部分，而c是b的一部分，那麼c是a的一部分。
因此，&ldquo整體到部分&rdquo的關系是可傳遞的。
再有，允許一個物體是它自身的一部分，這是很方便的。
這隻不過是你如何定義的問題。
懷着這種理解，關系就是反身的關系。
最後，如果a是b的一部分，而b也是a的一部分，那麼a和b必須相同。
這些&ldquo整體和部分&rdquo的性質不是新鮮的假設，它們遵循我們定義的邏輯形式。
如果我們假設空間在理念上的無限可分割，那麼我們不得不做出一個假定，即，我們假定：每一種知覺集合都是一個廣延物體，包含其他知覺集合。
其中，被包含的知覺集合也是廣延物體，且跟包含它的知覺集合不同。
這個假定幾乎可說是理念的感知理論的大體草案。
除非你以某種形式來制定幾何學，否則幾何學将不複存在。
我闡述的假設并非我獨有的。
然後，就可以來定義我們所說的點。
一個點就是廣延物體的一個集合。
廣延物體，用日常語言來說，就是包含了這個點的那些物體。
如果沒有預先假定點的觀念，這個定義會是相當複雜的，而我現在沒有時間陳述它。
把點引入幾何學，好處在于它們之間邏輯關系的表達很簡單。
對于科學而言，定義的簡單并不重要，但是相互關系的簡單是必要的根本。
這條法則還有一個實例：物理學家和化學家把一個簡單的概念，比如說連小孩兒都能懂的&ldquo一把椅子&rdquo，分解成一個令人困惑的概念&mdash&mdash分子、原子、電子和光波的複雜舞蹈。
因此，他們得到了邏輯關系更簡單的概念。
由此設想的空間是常識經驗世界的外現空間性質的精确構想。
它不一定是物理學家設想空間的最佳方式。
一個基本的必要條件是：空間中的常識世界和物理學家的世界之間的對應關系，應該是确定的和相互的。
現在，我不再闡述與自然科學相聯系的邏輯功能。
我試圖把它作為組織原則來展示，分析那些從直接現象衍生出來的概念，審查那些被假定為自然規律的一般命題的結構，在相互影響的方面建立彼此的關系，推斷在給定環境下我們可以預期的現象。
邏輯，如果被恰當地使用，并不會給思想上鎖。
它給我們自由，最重要的是，給我們魄力。
不合邏輯的思想在得出結論時猶豫不決，因為它從不知道自己指的是什麼，也不知道自己能假定什麼，或能在多大程度上信任自己的假定，以及對假定作出任何修改會帶來什麼後果。
那些未經訓練的大腦，在與手頭主題相關的建構性邏輯中，會對從各種假設出發的結論一無所知。
在預測歸納法則時，也會相應地遲鈍。
在這種相關邏輯中的基本訓練，毫無疑問是以積極的心态去思考案例中的已知事實，直接觀察。
但是，在有可能進行精細推論的地方，這種精神活動就需要對抽象的邏輯關系進行充分的研究。
這就是應用數學。
在科學的形成中，沒有觀察的邏輯，或沒有邏輯的觀察，兩者都寸步難行。
我們不妨把人性設想成在青年和老年之間的一場厮殺。
青春不由年齡來定義，而是用要成就某事的創造性沖動來定義。
那些在一切事情面前希望不犯一點兒錯誤的人，是上了年紀的人。
邏輯是從老年人手裡傳遞給年輕人的橄榄枝，這嫩枝在年輕人手裡具有創造科學的魔法般的屬性。
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[1]原文為：Thatisthedatumfromwhichitstarts，andtowhichitmustrecur.&mdash&mdash譯者注
[2]當一個取值範圍，既符合函數f（x），又符合函數&phi（x）的時候，我們描述符合函數f（x）的取值範圍時所用的集就要避免讓人産生誤解，讓人們不要因為取值範圍相同而混淆兩個函數。
因此這種集都是有且隻有一個。
&mdash&mdash譯者注
[3]原文為：Eitherxisnotmercury，oritsspecificheatis0.033.譯成中文之後，意思表達得有點不明朗。
更幹脆一點的說法是：除非x不是汞，否則它的比熱就是0.033。
&mdash&mdash譯者注