6 如果我們恰當地引入邏輯記号，那麼我們也就同時引入了它們的一切結合&mdash&mdash不僅&ldquop&orq&rdquo，也有&ldquo～（p&or～q）&rdquo等等&mdash&mdash的意義。
同時我們也就引入了括号的一切可能結合的效用；因此很清楚，真正一般的初始記号不是&ldquop&orq&rdquo、&ldquo（&existx）·fx&rdquo等等，而是它們的結合的最一般形式。
5.461 和真實的關系不同，像&or和&sup這種邏輯的僞關系是需要用到括号的，這一點看起來不太重要，事實上卻具有重大意義。
的确，對這些表面上的初始記号使用括号，本身即已表明它們不是真正的初始記号。
當然沒有人會認為，括号具有獨立的指謂。
5.4611 邏輯運算的記号是标點符号。
5.47 很清楚，關于一切命題的形式，凡是我們事先可以說的，我們必須能夠一下子都說出來。
實際上基本命題自身已經包含了全部邏輯運算。
因為&ldquofa&rdquo與&ldquo（&existx）·fx·x＝a&rdquo所說的完全一樣。
凡有組合的地方，就有主目和函項，而有了這些就已經有了全部的邏輯常項。
可以說，唯一的邏輯常項就是一切命題根據它們的本性所彼此共有的東西。
而這就是一般的命題形式。
5.471 一般的命題形式是命題的本質。
5.4711 給出命題的本質，意味着給出一切描述的本質，也即給出世界的本質。
5.472 描述最一般的命題形式，就是描述邏輯中那個唯一的一般的初始記号。
5.473 邏輯必須照顧自己。
如果一個記号是可能的，它就應該能起标示作用。
凡在邏輯中為可能的都是容許的。
（&ldquo蘇格拉底是同一的&rdquo之所以不意指什麼，是因為沒有稱為&ldquo同一的&rdquo這種屬性。
這個命題所以無意義，是因為我們無法作出一種任意的規定來，而不是因為這符号本身是不容許的。
）
在一定的意義上，我們不可能在邏輯上犯錯誤。
5.4731 由于語言本身能防止各種邏輯錯誤，所以羅素多次說到的自明性才會在邏輯中成為多餘的。
&mdash&mdash邏輯之所以是先天的，就在于不可能非邏輯地思考。
5.4732 我們不能給與一個記号以錯誤的意義。
5.47321 奧卡姆法則當然不是一條随意的規則，也不是一條因其在實踐上的成功而獲得了證明的規則：它表明，記号語言中非必要的單位不指謂任何東西。
滿足一個目的的記号邏輯上是等價的；不滿足任何目的的記号邏輯上是無指謂的。
5.4733 弗雷格說：每一個合法則地構造的命題都應當具有意義；而我說：每一個可能的命題都是合法則地構造的，而且，如果它沒有意義，那隻能是因為我們未能給與它的某些組成部分以指謂。
（盡管我們認為自己已經這樣做了。
）
因此，&ldquo蘇格拉底是同一的&rdquo之所以什麼也沒有說，是由于我們沒有給與&ldquo同一的&rdquo這個詞以任何形容詞的指謂。
而當它作為同一性記号出現時，它是以完全不同的方式&mdash&mdash另外一種标示關系&mdash&mdash來标示的，因而在這兩種情況下的符号也是完全不同的：這兩個符号不過偶然地具有共同的記号。
5.474 必要的基本運算的數目唯一地取決于我們的記号系統。
5.475 這隻是構造一個具有一定度數，即一定的數學多樣性的記号系統的問題。
5.476 很清楚，這裡涉及的不是必須給以标示的一定數目的初始概念，而是一項規則的表達式。
5.5 每一個真值函項都是連續應用運算&ldquo（&hellip&hellipW）（&xi，&hellip&hellip）&rdquo于基本命題的結果。
這個運算否定右邊一對括号裡的全部命題，我稱之為這些命題的否定。
5.501 一個以命題作為項的括号表達式，如果括号裡各項的次序是無關緊要的，我就用一個&ldquo（）&rdquo形式的記号來表示。
&ldquo&xi&rdquo是一個變項，它的值是括号表達式的各個項。
變項上畫的橫線表示，它代表括号裡變項所有的值。
（例如，若&xi有三個值P、Q、R，則（）＝（P，Q，R）。
）
變項的值是規定了的。
這規定就是對變項所代表的命題的描述。
括号表達式中各項的描述是怎樣産生的，這一點無關緊要。
我們可以區分三種描述：1．直接列舉，這時可以簡單地用作為變項取值的常項來代換變項。
2．給出一個函項fx，它對所有x值的取值即為要描述的命題。
3．給出一個決定命題構成的形式規則，這時括号表達式中的各項就是一個形式系列的所有的項。
5.502 因此，我寫作&ldquoN（）&rdquo以代替&ldquo（&hellip&hellipW）（&xi，&hellip&hellip）&rdquo。
N（）是對命題變項&xi所有的值的否定。
5.503 顯然，我們不難表達：命題如何可以用此運算來構成和如何不可以用它來構成；故而為此必可找到一個精确的表達式。
5.51 如果&xi隻有一個值，則N（）＝～p（非p）；如果它有兩個值，則N（）＝～p·～q（既非p也非q）。
5.511 包容一切而反映着世界的邏輯之所以能夠運用這種特别的鈎子和裝置，是因為它們全都彼此結合着成為一張無比精細的網&mdash&mdash一面巨大的鏡子。
5.512 若&ldquop&rdquo為假，則&ldquo～p&rdquo為真。
因而，在真命題&ldquo～p&rdquo中，&ldquop&rdquo是一個假命題。
那麼波線&ldquo～&rdquo怎樣能使&ldquop&rdquo與實在相符合呢？
但是在&ldquo～p&rdquo中起否定作用的并不是&ldquo～&rdquo，而是這個記号系統中所有否定p的記号共有的東西。
也就是說，是構成&ldquo～p&rdquo、&ldquo～～～p&rdquo、&ldquo～p&or～p&rdquo、&ldquo～p·～p&rdquo等等（以至無窮）所遵循的共同規則，這一共同的因素反映着否定。
5.513 可以說，肯定p和q兩者的一切符号所共同的東西，就是命題&ldquop·q&rdquo；而肯定p或者q的一切符号所共同的東西，就是命題&ldquop&orq&rdquo。
同樣可以說，兩個命題如果彼此之間沒有任何共同的東西，它們就是互相反對的，而且每個命題隻有一個否定，因為隻有一個命題完全在它之外。
因此在羅素的記号系統中也同樣表明，&ldquoq∶p&or～p&rdquo和&ldquoq&rdquo說的是一回事情，&ldquop&or～p&rdquo則什麼也沒有說。
5.514 一個記号系統一旦建立起來，其中就有一條用以構造一切否定p的命題的規則，一條用以構造一切肯定p的命題的規則，一條用以構造一切肯定p或q的命題的規則，等等。
這些規則等價于一些符号，它們的意義就反映在符号之中。
5.515 在我們的符号中必須表明，隻有命題才能相互之間用&ldquo&or&rdquo、&ldquo·&rdquo等等結合起來。
情況的确如此，因為&ldquop&rdquo和&ldquoq&rdquo的符号本身已假定了&ldquo&or&rdquo、&ldquo～&rdquo等等。
如果在&ldquop&orq&rdquo中記号&ldquop&rdquo不代表一個複合記号，那麼它自身單獨地就不能有意義：而在這種情況下，和&ldquop&rdquo具有相同意義的記号&ldquop&orp&rdquo、&ldquop·p&rdquo等等也就不能有意義。
而如果&ldquop&orp&rdquo沒有意義，&ldquop&orq&rdquo也就不可能有任何意義。
5.5151 一個否定命題的記号必須要用肯定命題的記号來構成嗎？為什麼不能用一個否定的事實來表達一個否定命題呢？
（例如，設&ldquoa&rdquo不處在對&ldquob&rdquo的一定關系之中，就可以說為：aRb不是實情。
）
但是即使在這裡，否定命題其實也是間接地用肯定命題來構成的。
肯定命題必須以否定命題的存在為前提，反之亦然。
5.52 若&xi的值是函項fx對于所有x值的全部取值，則N（）＝～（&existx）·fx。
5.521 我把所有這個概念同真值函項分離開來。
弗雷格和羅素是聯系邏輯積或邏輯和而引入概括的。
這樣就難以理解隐含着這兩個概念的命題&ldquo（&existx）·fx&rdquo和&ldquo（x）·fx&rdquo。
5.522 概括記号的特點在于，第一，它指示一個邏輯原型；第二，它突出了常項。
5.523 概括記号是以主目的身份出現的。
5.524 如果給出了一些對象，那麼同時也就給出了所有對象。
如果給出了一些基本命題，那麼同時也就給出了所有基本命題。
5.525 像羅素那樣将命題&ldquo（&existx）·fx&rdquo譯述為&ldquofx是可能的&rdquo，是不正确的。
一種情況的必然、可能或者不可能，不是用命題來表達，而是由表達式是一個重言式、一個有意義的命題或者一個矛盾式來表達。
我們常常要援引的慣例必須已經存在于符号本身之中。
5.526 我們可以用完全概括的命題，即不必首先把每個名稱對應于一個特定的對象，來完全地描述世界。
然後，為了達到習慣的表達方式，我們隻須在&ldquo有一個而且隻有一個x，使得&hellip&hellip&rdquo這個表達式後面加上一句話：&ldquo而且x是a&rdquo。
5.5261 一個完全概括的命題，像每個其它命題一樣，是組合的。
（這一點為我們在&ldquo（&existx，&phi）·&phix&rdquo中必須分開地提及&ldquo&phi&rdquo和&ldquox&rdquo這一事實所表明。
兩者都獨立地處在對世界的标示關系中，就像非概括命題的情形一樣。
）
組合符号的标志是：它和别的符号有某種共同的東西。
5.5262 每一個命題的真或假都在世界的一般構造中引起某種改變。
而且基本命題的總體為世界的構造所留下的可能範圍，正好就是所有的概括命題所界定的範圍。
（如果有一個基本命題為真，那就意味着無論如何有多于一個的基本命題為真。
）
5.53 我用記号的同一，而不是用等号，來表達對象的同一。
對象的不同則用記号的不同來表達。
5.5301 顯然，同一不是對象之間的一種關系。
例如，隻要考察一下&ldquo（x）∶fx·&sup·x＝a&rdquo這個命題，這一點就很清楚了。
這個命題隻是說，隻有a滿足函項f，而不是說，隻有對a具有一定關系者滿足函項f。
當然，也可以說，隻有a才對a具有這種關系；但是為了表達這點，就需要同一記号本身。
5.5302 羅素的&ldquo＝&rdquo的定義是不充分的，因為我們不能根據它說兩個對象共有它們的一切屬性。
（即使這個命題決非正确的，它也仍然具有意義。
）
5.5303 大緻說來：說兩個東西是同一的，這是無意義的，而說一個東西和它自身同一，就是根本什麼也沒有說。
5.531 因此我不寫&ldquof（a，b）·a＝b&rdquo，而寫&ldquof（a，a）&rdquo（或者&ldquof（b，b）&rdquo。
不寫&ldquof（a，b）·～a＝b&rdquo，而寫&ldquof（a，b）&rdquo。
5.532 以此類推：我不寫&ldquo（&existx，y）·f（x，y）·x＝y&rdquo，而寫&ldquo（&existx）·f（x，x）&rdquo；不寫&ldquo（&existx，y）·f（x，y）·～x＝y&rdquo，而寫&ldquo（&existx，y）·f（x，y）&rdquo。
（這樣，羅素的&ldquo（&existx，y）·fxy&rdquo就成為：&ldquo（&existx，y）·f（x，y）·&or·（&existx）·f（x，x）&rdquo。
）
5.5321 因此，例如，我們不寫&ldquo（x）∶fx&supx＝a&rdquo，而寫&ldquo（&existx）fx·&sup·fa∶～（&existx，y）·fx·fy&rdquo。
因而，命題&ldquo隻有一個x滿足f（ ）&rdquo将讀作&ldquo（&existx）·fx∶～（&existx，y）·fx·fy&rdquo。
5.533 所以，同一記号不是概念記号系統的必要組成部分。
5.534 現在我們看到，在一個正确的概念記号系統中，像&ldquoa＝a&rdquo，&ldquoa＝b·b＝c·&supa＝c&rdquo，&ldquo（x）·x＝x&rdquo，&ldquo（&existx）·x＝a&rdquo等等僞似命題是根本不能寫的。
5.535 這也就消解了所有和這類僞似命題聯系在一起的問題。
至此，羅素的&ldquo無窮公理&rdquo所帶來的一切問題都已獲緻解決。
無窮公理所要說的，可以通過存在無限多個具有不同指謂的名稱，在語言中自行表達出來。
5.5351 在某些情形下，人們情不自禁地要使用&ldquoa＝a&rdquo或者&ldquop&supp&rdquo之類形式的表達式。
當人們想要談論原型，即命題、事物等等時，就出現這種情形。
所以，在羅素的《數學原則》中，&ldquop是命題&rdquo&mdash&mdash這是無意義的&mdash&mdash被翻譯為符号&ldquop&supp&rdquo，而且把它作為假設置于某些命題前面，以保證處在這些命題主目位置上的隻能是命題。
（把假設p&supp置于一個命題前面，以保證它的主目具有正确形式，這是無意義的，因為對于以非命題為主目這個假設不是假的而是無意義的，而且因為錯誤種類的主目也使得這個命題本身成為無意義的，所以在防止錯誤的主目這一點上，命題本身和為此目的而附加的無意義的假設是同樣地有用，或者說，是同樣地無用。
）
5.5352 同樣地人們想用&ldquo～（&existx）·x＝x&rdquo來表達&ldquo沒有事物&rdquo。
但是，即使這是一個命題，如果确實&ldquo有一些事物&rdquo，但這些事物與自身不是同一的，這個命題不也同樣為真嗎？
5.54 在一般的命題形式中，命題隻是作為真值運算基礎而出現于别的命題之中。
5.541 初看起來，一個命題也可能以别種方式在另一個命題中出現。
特别是在某些心理學的命題形式中，如&ldquoA相信p是真的&rdquo，或者&ldquoA思考p&rdquo等等。
這裡如果隻是膚淺地考察，就好像命題p同對象A處在某種關系之中。
（在當今的知識論中（羅素、摩爾等），正是這樣來理解這些命題的。
）
5.542 但是很清楚，&ldquoA相信p&rdquo，&ldquoA思考p&rdquo，&ldquoA說p&rdquo都是&ldquo&lsquop&rsquo說p&rdquo的形式：這裡涉及到的不是一個事實和一個對象的相關，而是借助于其對象相關的諸事實的相關。
5.5421 這也表明，沒有像當今膚淺的心理學中所設想的心靈&mdash&mdash主體等等&mdash&mdash這類東西。
的确，一個組合的心靈就已經不再是心靈了。
5.5422 對命題形式&ldquoA判斷p&rdquo的正确解釋必須表明：使判斷成為一種無意義是不可能的。
（羅素的理論不滿足這個條件。
）
5.5423 感知一個複合物的意思就是感知到它的各組成部分以如此這般的方式互相關聯着。
這也能很好地解釋，為何有兩種可能的方式把如下圖形
看成為立方體；以及所有類似的現象。
因為我們确實看到兩個不同的事實。
（如果我先看定諸a角，對諸b角隻是瞥及，于是諸a角顯得在前；反之則諸b角顯得在前。
）
5.55 現在我們必須先天地回答關于基本命題的一切可能形式的問題。
基本命題由名稱組成。
可是我們既然不能給出具有不同指謂的名稱的數目，我們也就不能給出基本命題的組成。
5.551 我們的基本原則是：凡一般地可以由邏輯決定的問題，必須能夠當即決定。
（如果我們處在必須通過觀察世界來回答這類問題的境地，那就表明我們已經陷入了完全錯誤的思路。
）
5.552 我們為了理解邏輯所需要的&ldquo經驗&rdquo，不是某物是如何如何的，而是某物存在：但這恰恰不是經驗。
邏輯先于任何經驗&mdash&mdash某物是如此這般的。
邏輯先于關于&ldquo如何&rdquo的問題，而不先于關于&ldquo什麼&rdquo的問題。
5.5521 如果不是這樣，我們怎麼能夠應用邏輯呢？也可以這樣說：假如即使沒有世界也有一個邏輯，那麼，為何有了一個世界就有一個邏輯呢？
5.553 羅素說，在事物（個體）的不同數目之間存在着簡單的關系。
但是，在什麼數目之間？又如何斷定這種關系？&mdash&mdash依靠經驗嗎？
（沒有地位特殊的數。
）
5.554 任何特殊形式的提出都是完全任意的。
5.5541 例如，我能否處于一種需要27位關系的記号來标示某種事物的狀況，應該可以先天地回答這個問題。
5.5542 但是，我們真的可以這樣來提問嗎？我們能夠建立一種記号形式而不知道是否有任何東西與之對應嗎？
能否有意義地提問：為有某事發生，必須存在什麼東西？
5.555 顯然，關于基本命題，我們具有某種與其特定的邏輯形式無關的概念。
但是，當有一個系統使我們得以建造符号時，那麼這個系統，而非單個的符号，才是邏輯上重要的東西。
不管在邏輯中我是否要處理我所創造的形式，我都必須處理那使我能夠創造這些形式的東西。
5.556 不可能有基本命題形式的等級系列。
我們隻能預見我們自己構造的東西。
5.5561 經驗的實在受到對象總體的限制。
這種限制也在基本命題的總體中表現出來。
等級系列是獨立于實在的，而且必須獨立于實在。
5.5562 如果我們根據純粹邏輯的理由知道必須有基本命題，那麼，凡是理解具有未分析形式的命題的人也必定知道這一點。
5.5563 事實上，我們日常語言中的所有命題，正如它們本來的那樣，在邏輯上是完全有條理的。
&mdash&mdash我們必須在這裡提及的最簡單的東西，不是類似于真，而是完整的真本身。
（我們的問題不是抽象的，而且也許是所有問題中最為具體的。
）
5.557 邏輯的應用決定有什麼樣的基本命題。
邏輯不能預期屬于其應用的東西。
顯然，邏輯不能與其應用沖突。
但是邏輯必須同其應用接觸。
因此，邏輯不能和其應用互相重疊。
5.5571 如果我不能先天地舉出有一些什麼基本命題，那麼要舉出它們就必定會導緻明顯的無意義。
5.6 我的語言的界限意味我的世界的界限。
5.61 邏輯充滿世界：世界的界限也就是邏輯的界限。
所以在邏輯上我們不能說：世界上有這個和這個，而沒有那個。
因為這看來就假定了我們會排除某些可能性，而這是不可能的事情，不然邏輯就必須超出世界的界限；因為隻有超出世界的界限它才也能從另外一邊來察看這些界限。
我們不能思考我們所不能思考的東西；因此我們也不能說我們所不能思考的東西。
5.62 這一段話為解決唯我論中有多少真理的問題提供了鑰匙。
唯我論者意味的東西是完全正确的，不過它不能說，而隻能自己顯示出來。
世界是我的世界：這表現在語言（我所唯一理解的語言）的界限就意味我的世界的界限。
5.621 世界和人生是一回事。
5.63 我是我的世界。
（小宇宙。
）
5.631 沒有思考着或想像着的主體這種東西。
如果我寫一本書叫做《我所發現的世界》，我也應該在其中報道我的身體，并且說明哪些部分服從我的意志，哪些部分不服從我的意志，等等。
這是一種孤立主體的方法，或者不如說，是在一種重要意義上表明并沒有主體的方法；因為在這本書裡唯獨不能談到的就是主體。
&mdash&mdash
5.632 主體不屬于世界，然而它是世界的一個界限。
5.633 在世界上哪裡可以找到一個形而上主體呢？
你會說這就正好像眼睛和視域的情形一樣。
但是事實上你看不見眼睛。
而且在視野裡沒有任何東西使得你能推論出那是被一隻眼睛看到的。
5.6331 視域肯定不具有如圖這樣的形式：
5.634 與此有聯系的一點是，我們的經驗中也沒有一部分同時是先天的。
我們看到的一切也可能是别種樣子。
我們通常能夠描述的一切也可能是别種樣子。
沒有先天的事物秩序。
5.64 這裡可以看到，嚴格貫徹的唯我論與純粹的實在論是一緻的。
唯我論的自我收縮為無廣延的點，保留的是與它相關的實在。
5.641 因此，确實有一種意義使哲學可以用非心理學的方式來談論自我。
由于&ldquo世界是我的世界&rdquo而使自我進入哲學之中。
哲學上的自我并不是人，也不是人的身體或者心理學所考察的人的心靈，而是形而上主體，是世界的界限&mdash&mdash而不是它的一個部分。
6 真值函項的一般形式是：
這也是命題的一般形式。
6.001 它隻是說明：每個命題都是連續應用運算N（）于基本命題的結果。
6.002 如果有了怎樣構成一個命題的一般形式，那麼也就随之有了怎樣通過一個運算可以從一個命題産生出另一個命題的一般形式。
6.01 因此運算&Omega'（）的一般形式是：
這是由一個命題過渡到另一個命題的最一般的形式。
6.02 由此我們就達到了數。
我給出如下定義：
x＝&Omega0'xDef．
并且 &Omega'&Omegav'x＝&Omegav＋1'xDef．
這樣，根據這些記号規則我把系列
x，&Omega'x，&Omega'&Omega'x，&Omega＇&Omega＇&Omega＇x，&hellip&hellip
寫作：
&Omega0'x，&Omega0＋1'x，&Omega0＋1＋1'x，&Omega0＋1＋1＋1'x，&hellip&hellip
因此，我不寫作&ldquo［x，&xi，&Omega'&xi］&rdquo，而寫作：
&ldquo［（&Omega0'x，&Omegav'x，&Omegav＋1'x］&rdquo
而且我給出如下定義：
6.021 數是一個運算的階次。
6.022 數的概念不過是一切數所共有的東西，即數的一般形式。
數的概念是變數。
數相等的概念就是一切特定的數相等情形的一般形式。
6.03 整數的一般形式是：
6.031 類的理論在數學中完全是多餘的。
與此相關聯的一點是：數學中所需要的概括，不是偶然的概括。
6.1 邏輯命題是重言式。
6.11 因此，邏輯命題什麼也沒有說。
（它們是分析命題。
）
6.111 凡是使一個