步。
至少，老舊僵死的傳統被打破了。
我今天下午着重要談的，就是關于重建我們的數學教育體系。
我已經以一句話來概括了我對這個問題的看法，即，必須要把深奧性從一門學科的教育用途中去除。
我們的教學過程中，應該被設計得能夠簡要地說明一系列顯而易見的、具有重要性的觀念。
所有花哨的題外話都應該被嚴格去除。
我們要設立的目标是：學生對抽象的思想獲得了親熟感，應該能夠在特定具體環境中意識到怎麼樣去運用這些抽象的思想，應該知道在符合邏輯的調查研究中怎麼樣去運用一般方法。
懷着這種理想，你會發現，沒有什麼比盲目在課本中增加原理更糟糕的事兒了。
那些原理在課本中占據一席之地，僅僅是因為學生能去學習它們，而考試出題人能夠對此提出簡答題來考查學生。
學生要學習的書本知識，是能夠說明觀念的，也是非常重要的。
所舉的例子，應該直接說明公理，也可以是在具體現象中應用的方式。
隻要老師覺得合适，例子越多越好。
需要強調一點，如果考試中出現的實例需要很多深奧細節知識的話，精簡教材徒勞無功。
人們往往存在一種錯誤的觀念，認為卷面試題能甄别能力與天分，而書本知識能檢測一個人的死記硬背。
我的個人經曆并非如此。
為了争取獎學金而死記硬背的孩子，才會成功解答有難度的試卷。
适當地編排教材，而不是按照通行的那種糟糕的教學計劃來編排，又以增添一些直接例證為前提，也是非常好的能力檢測呢。
不過，這都是由考試對教學不良影響引出的題外話了。
基礎數學中的主要觀念其實根本不深奧，隻能說它們抽象。
在通識教育中開展數學教育，一個主要的目标就是培養學生掌握抽象觀念的能力。
這門科學成了最初第一大組抽象觀念，以精審的方式，自然地進入學生頭腦中。
為了教育起見，數學由數字關系、數量關系和空間關系組成。
這不是數學的一般定義，在我看來，數學不僅僅是一般科學。
我們現在讨論的是教育中數學的應用，這三組關系：數字關系、數量關系、空間關系，是相互聯系的。
在教育進程中，我們從特殊到一般。
因此，兒童應該被教會在簡單事例中實踐這些觀念。
我的觀點是，不要無目的地堆砌特殊數學理論，而是最終認識到，之前多年的學習說明了數量、質量和空間之間的關系，這才是數學教育的目标。
這樣的培訓應該作為一切哲學的基礎。
實際上，初等數學如果能夠很好地被接受的話，就會給人群中那些普通智力的人們以哲學的訓導。
但是我們在數學教育中務必要避免一點，就是無意義的細節的堆積。
去做一些實例題，愛做多少做多少，讓孩子們做上幾個學期，幾年也行。
但是這些例題必須能夠直接說明主要觀念。
用這種方式，也隻能用這種方式，才能避免數學那緻命的深奧。
我不是針對那些将來會成為專業數學家的學生，也不是那些因為職業原因被要求有一定數學細節知識的學生。
我們考察的是指向所有學生的通識教育。
也包括上述兩類學生。
因此，數學的一般運用，應該是對某些一般真理的簡單的學習，能夠用實踐中的實例很好地說明。
這種學習要從自身去構想，要和前面所講的專業數學研究完全區分開來，盡管這種數學教育為專業的數學研究做了最精彩的準備。
數學教育的最終階段，學生掌握了那些在練習中已經被闡明的一般原理。
據我所知，當今數學教育的最終階段是讓學生掌握和三角形相連的圓的關系證明。
數學家往往會對這樣的數學題很感興趣，但是，它們難道不深奧嗎？它們與通才教育的理想之間又有什麼确切聯系？在古典文化教育中，學生們學習語法，目的是為了閱讀維吉爾和賀拉斯&mdash&mdash最偉大的人的最偉大的思想。
這能一樣嗎？當我們為自己的科學（數學）辯護，稱其在教育中有足夠的代表性的時候，卻說我們數學教育的終點是學生知道九點圓的性質？我很坦率地問你，是不是很掉價？
這一代數學教師在改革數學課程方面做出很多勤勉的工作。
我們不必灰心，我們一定會設計出課程，它能在學生頭腦中留下比&ldquo二義情況&rdquo更高貴的東西。
讓我們想想，在基礎課程結束的時候，最後複習時怎麼引導那些天資聰穎的學生。
在一定程度上，毫無疑問，需要對所完成的全部工作進行全面監督，而不必考慮過多的細節，以便強調那些用到的一般觀念，以及這些觀念在進一步學習中重要的可能性。
同時，分析和幾何思想在物理實驗室中得到了直接的應用，在物理實驗室中，應完成一門簡單的實驗力學課程。
這樣的應用具有雙重的意義，一方面學習物理知識，