一方面學習數學知識，兩者互為印證。
在力學原理的精确公式化裡，數學觀念是非常關鍵的。
精确的自然法則的觀念，在我們的經驗中這些法則以何種程度被證實，以及抽象思想在其形成過程中的作用，對學生來說變得明明白白。
課程的整個主題要求詳細展開，并充分詳細地說明，而不是死記硬背一些抽象論點。
然而，過分強調以最後複習的方式直接說明之前所學，那将是非常錯誤的。
我的意思是，課程的最後部分應該是經由挑選的。
事實上，所有先前數學知識的基本思想都應該重視。
這一點可以通過實際上進入一個新課題的方式來實現。
例如，數的概念和量的概念是精确思維的基本要素，但是在先前的數學教育階段，這兩個要素并沒有嚴格區分開來，理所當然地，孩子們學習代數時沒遇到太多麻煩，也沒學到太多數量。
但是他們之中禀賦較好的學生，在課程的最後，通過仔細考慮量的基本性質而大獲裨益，從而引入了數值測量。
這個主題也有一個優點，讓必要之書實際成為手邊之書。
歐幾裡得第五卷，被那些有資格作出判斷的人視為希臘數學的典範，針對這個問題作出詳細闡述。
沒有什麼更能說明傳統數學教育那無可救藥的狹隘，傳統數學教育一直忽略了這一卷。
它處理觀念，因而被摒棄了。
當然，我們需要對重要命題作出仔細挑選，對論點作出仔細修正。
我們不是要引入第五卷的全部内容，我們隻需挑其中體現基本概念的少數命題。
這個主題不适合那些落後的學生，但是那些學習程度好的學生一定會因為這個主題很感興趣。
而且，關于數量的性質，以及我們在處理數量時應采用的确定方法，能夠讓學生感興趣的可供探讨的範圍還挺大。
這項工作不會完全懸在空中，而是在每一個階段通過參考實際案例來加以說明，這些案例缺乏定量特征，或模糊不清、或難以預料、或明白清楚。
溫度、熱度、電流、喜悅與痛苦、質量與距離，這些都可以用來思考。
另一種需要實踐證明的數學知識是函數。
數學中的一個函數相當于物理學中的一個定律，或是相當于幾何學中的一條曲線。
當一個學生在數學課程中學習作圖表的時候，他就開始學習函數與曲線的關系。
近些年，數學課程在圖表方面做了不少改革。
但是到目前為止，改革要麼失于激進，要麼失于保守。
僅僅畫出一個圖表是不夠的，圖表背後的觀念，就像槍後面的拿槍的人，才是其成效的根本所在。
近來有這樣一些傾向，留下整個問題，僅僅讓學生去畫圖表。
在學習簡單的代數函數和三角函數時，我們其實也開始了學習物理定律的精确表達。
例如，曲線可以視為物理定律的一種數學表現形式。
在數學函數的物理定律演繹中，有一些是需要避免的，例如平方反比或者直接距離。
需要實際演繹的數學函數應該是簡單易懂的，還要能夠證明物理定律的重要而具體運用的實例。
對此我特别提出一點，我們可以利用微分學裡面的一些函數知識去做簡單的曲線性質證明。
在這個過程中，學生就會發現變化率的概念其實沒有那麼難。
對x的數次幂（例如x2、x3等）求導，很快就能算出來，如果借助幾何學，我們還可以對sinx和cosx進行求導。
如果這樣，我們就不會再給學生灌輸他們既不能懂、也不會用的數學公理，學生的注意力就會被吸引到一些具有重要意義的問題解決中。
如果我們讓學生通過這種方式熟悉數學概念的演繹過程，那麼他們就能明白那些真正能影響思想的概念。
在離開這個話題前，還要說一下。
物理定律和數學精确定律，其完全精确性從來沒有真正被觀察所證實過，但能夠簡單說明和提供精彩的例證。
同樣地，統計學定律，也就是用大量數據求平均數才能滿足的定律，很容易被研究和說明。
事實上，研究統計方法及其在社會現象中的應用，是應用代數思想的最簡單的例子之一。
學生還可以通過數學史歸納所學的數學概念。
我們不應把數學史僅僅看作一串年代、人名的簡單排列。
數學史的要義在于闡述過去的數學思想趨勢，這種闡述是這些學科才剛一出現時成為興趣的目标。
在這裡，我隻想引起人們對數學史的重視，也許這正是這門學科可以獲得的圓滿結果，也是我期盼的結果。
到目前為止。
我們讨論了兩個主要問題，即量的概念和自然規律的一般概念。
這些概念應該成為人文教育體系中的數學課程的學習目标。
此外，數學有一個不容忽視的方面，即作為邏輯方法訓練的必備工具。
那麼，什麼是邏輯方法呢？一個人怎樣從邏輯方法中得到培訓呢？
邏輯方法不僅僅是有效類型的推理知識和遵循它們所必須的專