心緻志的實踐練習。
如果隻是這樣，它也仍然是非常重要的。
因為在過去的時代，人類的思想不是為了尋求推理而進化的，人類僅僅是為了在兩餐之間，提升獲得新鮮食物供應的打獵技藝而進化。
因此，沒有大量的推理實踐，也就很少有人能做到嚴密的推理。
更重要的是成為一個好的推理者，甚至是用那些構成了藝術本質的知識來啟蒙普通人。
推理的藝術在于在合适時機掌控主題、抓住那些能說明整體情況的一般概念、堅持不懈地提出與此相關的所有次要的事實。
一個人沒有辦法成為一個好的推理者，除非這個人意識到抓住大問題的重要性，不死不休地抓住這些大問題，并且堅持不斷地實踐。
在這個類型的訓練上，我認為幾何比代數更好。
代數的思維領域非常含混不清，而幾何對于所有人來說都是一個顯而易見的事情。
簡化的過程，或者說抽象的過程之中，顔色、味道、重量，諸如此類不相幹的物質屬性統統被忽略掉，這本身也是一種教育。
此外，與學科相關的基本事實、基本事實之間的關系，都要形成清晰概念。
這樣做是必要的，定義、未經證明的假想命題，都能說明這種必要性。
而所有這些，不過是這門學科的前言。
當我們繼續深入學習，好處也會随之繼續增加。
學習者一開始不需要面對任何符号，這些符号無論多簡單都可能會幹擾記憶。
在推理的最開始的時候，如果得到了合适的引導，學生的頭腦會被清晰的觀念支配，這些觀念會引領每一個階段的發展。
由此，邏輯方法的本質得到了即刻的例證。
我們現在來思考一下幾何在人文教育中能帶來什麼效果。
考慮時，我們把普通學生愚鈍所造成的局限性放在一邊，也不考慮其他學科造成的時間占用的壓力。
我将會把學科的學習分成幾個階段，當然這并不意味着必須按照這個順序來進行。
第一個階段學習的内容是&ldquo全等&rdquo。
我們對全等的認識，在實踐中取決于我們的判斷，即外部情況發生變化時，它們的内在特性是不變的。
不管什麼樣的全等，全等的本質就是兩個空間區域之間的點對點的對應關系，即：對應邊相等，對應角相等。
需要注意，對應邊相等，對應角相等，兩個圖形全等。
對相等的檢驗，例如我們測量長度，隻是判定全等的手段，這些手段讓我們容易作出即刻的判斷。
我說這些想要之處，除卻與全等相關的推理，全等是一個更廣泛的實例、更深遠的觀念，或是為了它自身的緣故，都值得好好思考。
全等涉及的命題闡明了三角形、平行四邊形、圓形的基本性質，以及兩個平面之間的關系。
有必要把這部分經過證明的命題局限在一個狹窄的範圍内，這需要我們一方面假設有些公理命題是冗餘的，一方面需要我們隻介紹那些的的确确非常基礎而重要的命題。
第二個階段要學習&ldquo相似&rdquo。
在幾何的學習過程中，對相似性的學習可以歸并成三四個基礎的命題。
相似概念是全等概念的延伸，也是基于空間裡的點對點的一一對應關系。
這門學科的進一步學習，最好是調查兩個相似的，或者是類似位置的直線圖形，分析一兩個簡單特性。
這門學科在平面和地圖裡可以即刻應用。
但是，三角學是确實能使主要定理得以有效應用的方法，牢記這一點，這很重要。
第三個階段，學習三角形的原理。
這是周期性的學習，周期性由圖形旋轉和适當保存了相似圖形的相關性而引出。
這裡，我們首次介紹一點兒代數分析的用處，代數分析以數與量的分析為基礎。
函數周期性特征的重要性，需要充分的說明。
函數的最簡單性質是求解三角形所需的唯一性質，以及由此産生的測量應用。
公式的價值，常常是就它們自身而言很重要，但是在這類學習中根本用不上。
這類公式充斥着我們的課本，應該被嚴格地排除，除非它們被學生證明可以作為書本知識的直接例證。
關于排除公式這個問題，通過思考三角學這個學科可以得到最好的說明。
當然，我也完全可能會偶然發現一個不幸的例子，那個例子裡我的判斷是錯誤的。
這門學科在教育中的主要優勢是，可以使學生的學習限定于三角形中一個角，可以排除正弦、餘弦的附加公式和兩角之和。
函數可以做圖表，也可以用三角形求解。
因此，科學的各個方面，無論是書本還是實例，都會給學生留下深刻的印象。
科學的各個方面包括：（1）分析地體現了從全等和相似推導出的一些定理的直接結果；（2）解決測量的主要問題；（3）學習表達周期性運動和波形運動所需的基本函數。
如果還想進一步拓展這門課程，公式也應該增加。
我們要極為謹慎，一定排除讓學生專攻出現在培訓中