的大量公式。
所謂&ldquo排除&rdquo，我的意思是指學生不需要在獲取推理的技巧上花費時間和精力。
教師們也許會覺得課前做幾個這樣的例題挺有趣，但是這樣做的結果并不在學生應該記住的範圍以内。
另外，外接圓和内切圓的主題都應該被排除在三角學的課程之外，排除在整個幾何科目的課程之外。
這樣的公式，盡管在幾何學中非常重要，但是在基礎的、非專業的數學教育中意義不大。
如此看來，關于三角學的書本知識必須被減少到一個可控比例之内。
我有一天聽說，在美國的一所大學，學生被要求熟練掌三角學的90個公式或定理。
我們英國的數學教育尚不至于如此糟糕。
就三角學而言，至少在涉及的基礎課程中，基本上達到了我們起草的目标。
第四個階段開始學習解析幾何。
在代數中學習圖表時已經用到了解析幾何的基本概念，現在要求的是一種嚴格精簡的課程，由它們的方程形式定義的直線、圓和三種圓錐曲線的課程。
在此我要提出兩點。
第一，給予學生未經我們證明的數學信息，通常是可取的。
例如，在坐标幾何中，二級方程式的化簡可能超出了我們所考慮範圍内絕大多數學生的能力。
但是這不妨礙我們，在梳理曲線的各種可能類型時，向學生解釋圓錐曲線的基本觀點。
第二，提倡全面清除作為獨立學科的&ldquo圓錐曲線幾何&rdquo。
在合适機緣下，通過對一些簡單圖形的直接演繹，對解析幾何的分析會因此輕松一點。
但是，圓錐曲線幾何有着耀眼的缺陷，它由按焦點和準線性質來定義的圓錐曲線發展而來，深奧得無可救藥。
圓錐曲線的基本定義，SP＝e·PM，在這門課程、這個階段，糟糕透了，它非常深奧，還沒什麼明顯的重要性。
究竟為什麼學習這些曲線？為什麼學習這一種曲線比其他那麼多公式定義的曲線還要多呢？當我們開始學習了笛卡爾方法論之後，我們就會知道對于圓錐曲線的計算來說，一次方程和二次方程的運用自然地成為首先考慮的内容。
按照結合的理想課程，第五步是獲取投影幾何原理。
在這裡，交比和投影的一般觀念是投影幾何的基礎。
投影是一對一關系的更為一般的實例，在全等和相似當中已經學過。
這裡，我們必須避免陷入大量豐富的細節的那種危險中。
投影幾何學所要闡明的智識觀念，即對所有可以證明具有某些相同性質的情況，要證明它們是相關的，要感到進行相關性推理具有重要性。
投影幾何這門學科有一個重要的教育觀念：在投影中，保持投影特性不變。
交比的概念僅作為基本度量性質而存在。
我們要針對若幹少量命題來展開投影幾何的教學，以此讓學生學習其中兩個緊密聯系的過程。
一個是簡化證明，這種簡化是心理上的，而不是邏輯上的。
一般情況下，幾何投影中的邏輯關系是最為簡單的。
這意味着什麼呢？證明所需要考慮的情形是我們最熟知的，或者是我們最容易明白的；另一個是從一般真理來推理出特殊事例的情況。
一旦我們掌握發現這些事例的方法，或者一旦我們掌握檢驗它們的标準，我們就可以從一般真理推理出特殊事例。
圓錐曲線的投影定義，一般二次曲線方程的結果同一性，都可以進行簡單講解。
這兩個方面是投影幾何的邊緣内容，我們可以傳遞某些這類題目的信息，但是不要去證明它們。
我們構想的幾何課程是完全理想化的，理想到無法實現，這門課程不算太長。
在各個階段的教材中，實際的數學推理是非常少有的。
但是，應給出更多的解釋，通過實例來說明每個命題的重要性，要麼就由教者作出解釋，要麼就讓學生來作出解釋，選擇要指明思想所适用的領域。
通過這樣的課程，學生能夠獲得對主要空間特性的分析能力，和研究它們時的主要方法。
研究數學的要素，懷着數學精神，學生就會獲得邏輯方法的訓練，同時還會獲得一些對宇宙進行科學和哲學研究的基礎的精審的觀念。
這一代的教育者已經取得了精彩的改革成就，在此基礎上我們繼續堅持，使其課程中包含更廣泛、更多的哲學精神，容易做到嗎？坦率地說，我認為單憑個人努力很難達到這個結果。
那些原因，我此前已經簡短說明過，任何教育改革都難于取得成效。
但是如果理想真正起效，大家持續的努力會有一種聯合的效力，最終會帶來令人驚訝的轉變。
逐漸地，我們想要的課本會被編寫出來，考試形式逐步改革，加強那些技術含量較低的方面。
所有近期的經驗都表明，大部分的教師們都已經準備好了：為了數學不再因為機械訓導而備受指責，迎接任何一種具有實踐意義的方法。